در این نوشته قصد تقریر پارادوکس استفان یابلو(استاد فلسفه دانشگاه MIT) را دارم.
تصور کنید تعداد نامتناهی جمله داریم که با ,... S1 , S2 شماره گذاری شدهاند و هر جمله بیان میکند که: «تمام جملات بعدی کاذب اند!»
(S1) For all k>1, Sk is untrue
(S2) For all k>2, Sk is untrue
(S3) For all k>3, Sk is untrue
.
.
.
خوب حالا بیاید فرض کنیم که Sn صادق است:
(Sn) For all k>n, Sk is untrue -> T
و طبق محتوای جمله:
(Sn+1) For all k>n+1, Sk is untrue -> F
بدیهی است که n+1>n. در نتیجه Sn صادق است اگر Sn کاذب باشد.
تا اینجا خواننده هوشمند خود حدس میزند که از کذب چگونه به صدق میرسیم اما برای اینکه مطلب کامل شود فرض کنیم Sn کاذب باشد:
(Sn) For all k>n, Sk is untrue -> F
پس نقیضش صادق است
(Sn) For some k>n, Sk is true -> T
طبق محتوای جمله دست کم یک Sr وجود دارد به طوریکه r>n و صادق است:
(Sr) For all k>r, Sk is untrue -> T
از آنجاییکه r هیچ ویژگی خاصی ندارد هر جملهای میتواند باشد. در ثانی با توجه به اینکه r>n است، Sn کاذب است اگر Sn صادق باشد!
حالا طرف دوم شرطی هم کامل شد. نتیجه:
«Sn صادق است اگر و تنها اگر کاذب باشد» یا « Sn کاذب است اگر و تنها اگر صادق باشد»
حالا طرف دوم شرطی هم کامل شد. نتیجه:
«Sn صادق است اگر و تنها اگر کاذب باشد» یا « Sn کاذب است اگر و تنها اگر صادق باشد»
نکته آخر: با توجه به اینکه Sn هیچ ویزگی متمایزی ندارد برهان بالا برای پارادوکسی بودن Sn، برای تمام جملات این رشته نامتناهی صادق است.
--------------------------------
از راسل به بعد تصور این بود که خود ارجاعی باعث ایجاد پارادوکس در زبان ما میشود. اما پارادوکس بالا خود ارجاع نیست!
البته بحثهای فراوانی حول این پارادوکس شکل گرفتهاست که آیا خود ارجاع هست یا نه؟!
*******************
منبع:
Yablo, S. Paradox Without Self--Reference. Analysis 53 (4):251-252
پارادوکس را از این منبع گرفتم اما برهان پارادوکسی بودن از خودم هست (البته بازهم با الهام از این مقاله!)